Informazione vs Cose

Informazione relativa nei fondamenti della fisica

Carlo Rovelli

La nozione di Shannon di informazione relativa tra due sistemi fisici può funzionare nella fondazione della meccanica statistica e della meccanica quantistica, senza fare riferimento a soggettivismo o idealismo. Può anche rappresentare un elemento chiave nella formazione dell'immagine naturalistica del mondo, fornendo lo strumento concettuale per trattare la sua apparente limitazione. Tratterò della relazione tra queste idee e Democrito.

I. C'è un elemento soggettivo nella meccanica statistica?

Le proprietà termodinamiche, come l'entropia e la temperatura dipendono dalle variabili macroscopiche scelte per descrivere i sistemi con molti gradi di libertà. Questi dipendono dalla grana grossa, per questo l'entropia può essere definita (nella microcanonica) in termini del numero dei microstati compatibili con ciò che sappiamo del sistema. Con questa definizione, essa cambia se sappiamo di più. Questo sembra inserire un elemento soggettivo nella fisica. Ciò è in conflitto con il fatto che le leggi della termodinamica sembrano mantenersi del tutto indipendenti rispetto ad ogni nostra scelta. Il sole è caldo perchè noi scegliamo una certa grandezza di grana per descriverlo? L'entropia cresce per le nostre scelte?
La via d'uscita da questo enigma è semplice: l'entropia non è né inerente al microstato del sistema, né qualcosa di dipendente dalla nostra conoscenza soggettiva su di esso, ma invece è una proprietà di certe variabili (macroscopiche). Per esempio lo stato completo di un gas in una scatola è descritto dalla velocità e dalla posizione delle sue molecole. Fin qui non c'è entropia. Ma il volume, l'energia totale e la pressione (media nel tempo) sulle pareti della scatola sono funzioni ben definite di questo stato, e l'entropia è una funzione di questo.
Adesso, consideriamo una situazione dove il gas interagisce con un secondo sistema accoppiato solo con il volume, l'energia totale e la pressione del gas (per esempio interagisce con il gas tramite un termometro e una molla che trattiene un pistone). Allora le interazioni fisiche tra il gas e questo sistema sono ben descritte dalla termodinamica.
In altre parole, non è una scelta arbitraria o soggettiva di una grana grossa che rende la termodinamica fisicamente rilevante, bensì è il modo concreto in cui un altro sistema fisico è accoppiato con il gas. Se l'accoppiamento è tale da dipendere solo da certe variabili macroscopiche del gas, allora l'interazione fisica tra il gas e questo sistema è obbiettivamente ben governata dalla termodinamica. Questa osservazione chiave chiarisce il ruolo che l'informazione possiede nella fisica. L'entropia è quindi informazione. Nel linguaggio micro-canonico, l'entropia è definita dal numero di microstati compatibili con un dato macrostato. Il numero di stati nei quali qualcosa può trovarsi è precisamente la definizione di “informazione” (più precisamente, “mancanza di informazione”) data da Shannon nella sua celebrata opera del 1948 [1] che diede il via allo sviluppo della teoria dell'informazione. Ma l'informazione, che è il numero di alternative compatibili con ciò che conosciamo, non è significativa nella fisica finchè dipende da una conoscenza soggettiva idealistica, ma diviene rilevante in fisica quando si riferisce all'interazione tra due sistemi dove gli effetti dell'interazione sul secondo dipende solo da alcune variabili del primo, ed è indipendente dal resto delle variabili. In queste circostanze, il numero di stati del primo sistema che non sono distinti da queste variabili è il numero delle alternative di Shannon rilevanti per la definizione dell'entropia termodinamica. Qui “informazione” conta il numero di stati del primo sistema che si comportano ugualmente nell'interazione con il secondo sistema.
Quindi l'informazione rilevante in fisica è sempre l'informazione relativa tra due sistemi. Non c'è in ciò un elemento soggettivo: è completamente determinato dallo stato e l'interazione Hamiltoniana che specifica quali tra le variabili sono quelle rilevanti nell'interazione.
Figurativamente: non è il microstato del sole che è caldo, ma è il modo in cui il sole influenza la terra che è obbiettivamente caldo.

II. Irreversibilità relativa

Consideriamo il fenomeno irreversibile quintessenziale, un bicchiere cade sul pavimento e si rompe, alla luce dell'osservazione. Da un certo punto di vista è ovviamente un fenomeno irreversibile, ma è così da ogni punto di vista? L'evento è uno tra le molte possibili evoluzioni dinamiche di un insieme di molecole. Cosa rende la configurazione iniziale più speciale di quella finale? C'è qualcosa che la rende tale, ma non è il microstato delle molecole, ma è la maniera in cui noi lo descriviamo, o meglio alla luce della precedente sezione, la maniera in cui noi interagiamo con esso. E' per il fatto che il nostro punto di vista del bicchiere è macroscopico, dettato dalle variabili con le quali noi interagiamo, che lo stato iniziale è speciale e perciò l'entropia aumenta.
Per illustrare questo, consideriamo una scatola piena di palline, caratterizzate da due proprietà, cioè il colore e la carica elettrica. Diciamo che hanno due possibili colori: bianco e nero; e due possibili valori della carica: neutro e carico.
Consideriamo un microstato Col in cui le palline bianche sono nella parte destra della scatola e le palline nere sono nella parte sinistra, mentre la carica è distribuita casualmente. E consideriamo un differente microstato Ch dove le palline cariche sono nella parte sinistra, mentre le palline neutre sono sulla destra, laddove il colore è distribuito casualmente. Agli occhi normali Col appare come uno stato a bassa entropia, e Ch come uno stato ad alta entropia, mentre a una persona che sia cieca al colore ma con un elettrometro, il Ch apparirà di bassa entropia e il Col di alta entropia. Chi ha ragione? Entrambi, naturalmente. L'entropia è relazionale, essa ha pertinenza con le relazioni tra due sistemi interagenti, non con un singolo sistema.
Può il bicchiere rotto essere osservato da qualcun altro, diversamente accoppiato con esso, come un processo in cui invece l'entropia decresce? Naturalmente sì. Immaginiamo ogni frammento del bicchiere che si muove verso una immagine di se stesso sul pavimento, colorato in un colore a cui si sia ciechi.
Se queste considerazioni sono corrette, l'irreversibilità del mondo è da intendersi come una proprietà dell'accoppiamento tra sistemi, piuttosto che una proprietà dei sistemi isolati.

III. Il limite del microscopico senza informazione.

L'idea che il mondo possa essere descritto come un vasto mare di atomi interagenti e null'altro può essere fatto risalire all'antico atomismo di Democrito. La visione del mondo naturalistica e materialistica di Democrito fu successivamente criticata da Platone ed Aristotele sulla base del fatto che in questo modo non si riesce a tener conto della forma, o degli oggetti che noi vediamo nel mondo. Cosa rende un certo insieme di atomi un dato oggetto che noi possiamo riconoscere? Platone ed Aristotele, in modi differenti, cercarono di aggiungere le forme alla visione naturalistica di Democrito. Per Platone, un cavallo non è semplicemente un aggregato di materia, ma è una imprecisa realizzazione della forma astratta (“idea”) di un cavallo. Per Aristotele lo stesso cavallo è l'unione della sua sostanza e della sua forma. Ma se la forma è qualcosa che sta attorno alla sostanza, cos'è? Cosa rende una disposizione casuale di molecole un bicchiere? Quali proprietà degli atomi democritei genera variabili collettive? E come? Di fatto, l'idea di Democrito è più sottile della semplice affermazione che ogni cosa è composta da soli atomi. Democrito diceva che tre caratteristiche degli atomi sono rilevanti: la forma di ogni atomo individuale, l'ordine nei quali sono disposti, e la loro orientazione nella struttura. Quindi Democrito usa una metafora molto potente: così come venti lettere di un alfabeto possono essere combinate in innumerevoli maniere per dare origine a commedie e tragedie, allo stesso modo gli atomi possono essere combinati in innumerevoli maniere per dare origine a innumerevoli fenomeni del mondo.
Ma qual'è la rilevanza del modo nel quale gli atomi si combinano in un mondo in cui non c'è niente altro che gli atomi? Se questi sono come le lettere di un alfabeto, chi è in grado di vederci delle storie?
Io penso che la chiave della risposta ci riporta all'osservazione della prima sezione: i sistemi fisici interagiscono e si influenzano vicendevolmente. Nel corso di questa interazione, il modo in cui un sistema è lascia traccia nel modo di essere di un altro: si sono stabilite correlazioni.
Seguendo Shannon, possiamo dire che un sistema s ha informazioni su un sistema S se c'è un vincolo fisico tale che il numero degli stati totali dei due sistemi insieme è minore del prodotto del numero degli stati di ciascuno. Per esempio, se il sistema s può trovarsi negli stati a e b e il sistema S può trovarsi negli stati A e B, ma c'è un vincolo fisico (diciamo il modo in cui i due hanno interagito) che impedisce le combinazioni (a,B) e (b,A), permettendo solo in tal modo (a,A) e (b,B), allora diciamo che s ha (un bit di) informazione su S. Discorsivamente, se noi conosciamo lo stato di s, allora conosciamo anche lo stato di S. Le interazioni fisiche determinano vincoli tra i sistemi. Se succede che un albero mi cade sulla testa, allora non posso stare anche sorridendo: io ho delle informazioni sull'albero.
Quindi, i sistemi hanno necessariamente informazioni l'uno dell'altro, nel senso di Shannon. La mancanza di informazione che un sistema ha di un altro è precisamente l'entropia del secondo rispetto al primo. Essa è rilevante per l'interazione con il primo. Essa è l'entropia termodinamica convenzionale.
Prima di proseguire in questa linea di pensiero, introdurrò in questo quadro la teoria dei quanti.

IV. Teoria quantistica.

La scoperta della teoria dei quanti ha delineato il ruolo dell'informazione nella nostra comprensione del mondo. Se noi misuriamo lo stato di un sistema con una certa precisione, l'informazione risultante specifica una regione R dello spazio delle fasi del sistema. L'unità di volume dello spazio delle fasi è l'azione (dimensione al quadrato per massa su tempo) per grado di libertà. Nella meccanica classica possiamo in linea di principio rifinire arbitrariamente la misura, per cui c'è sempre una quantità continua (infinita) di informazione mancante su un sistema, per quanto sia precisa la misura.
Dopo la scoperta della meccanica quantistica, non fu più così. Se misuriamo l'energia di un oscillatore armonico e otteniamo un valore compreso tra E1 ed E2, allora c'è soltanto un numero finito di possibili valori che l'energia può assumere. Questo è dato dall'area della regione dello spazio delle fasi incluso tra le due superfici E1 e E2 diviso per la costante di Planck.
Questo è un risultato generale: per tutti i sistemi quantistici c'è soltanto un numero finito di stati ortogonali per ogni regione finita dello spazio delle fasi. La costante di Planck determina il minimo volume dello spazio delle fasi. Il volume dello spazio delle fasi misura l'informazione (mancante) che noi abbiamo di un sistema. Ne segue che la meccanica quantistica afferma che l'informazione non è più continua come nella fisica classica, bensì è discreta e la costante di Planck è la minima unità di informazione.
Questo porta a un primo principio alla base della teoria dei quanti: l'informazione contenuta in ogni regione finita dello spazio delle fasi di ogni sistema è finita.
Questo principio non esaurisce la teoria dei quanti, perché sarebbe valida per ogni sistema classico discreto. L'ulteriore caratteristica della teoria dei quanti è che l'informazione può diventare irrilevante e può essere rinnovata. Con ciò intendo ciò che segue. Se abbiamo misurato un sistema, l'informazione che abbiamo su di esso ci permette di predire il suo futuro. Nella teoria dei quanti, possiamo sempre aggiungere nuova informazione allo stato di un sistema, anche dopo che abbiamo raggiunto la massima informazione su di esso. Facendo questo, parte della vecchia informazione diventa irrilevante, cioè non ha effetto sulle predizioni future. Il caso tipico è una sequenza di misure dello spin lungo assi differenti, in un sistema a due stati. Ogni misura porta nuova informazione e rende quella precedente irrilevante. Questo conduce al secondo principio che è alla base della teoria dei quanti: è sempre possibile acquisire nuova informazione su un sistema.
La combinazione di questi due principi genera l'intera struttura matematica della teoria dei quanti, tranne qualche aspetto tecnico, come mostrato in [2]. Quindi, l'informazione relativa che i sistemi hanno l'uno dell'altro è un linguaggio chiave su cui basare la teoria dei quanti.
Occorre adesso ricordare che la geometria dello spazio-tempo è dinamica. Quindi ogni sistema fisico deve includere la sua regione spaziotemporale. Questo implica che c'è una identificazione naturale tra i sistemi e le regioni dello spazio-tempo. Le interazioni tra regioni dello spazio-tempo sono interazioni quantistiche tra sistemi. Quindi c'è uno scambio di informazioni tra regioni spaziali. Queste sono quantizzate e discrete, poiché l'informazione è discreta. La discretezza dei quanti, combinata con il fatto che la geometria è dinamica e quindi quantizzata, conduce alla discretezza dello spazio, idea che può essere fatta risalire agli anni 30 [3,4] ed è stata concretizzata più recentemente. La discretezza si traduce nella discretezza dell'area delle superfici bidimensionali [5,6]. La discretezza dell'area è un riflesso immediato della discretezza dell'informazione quantistica che può essere trasmessa attraverso questa superficie.

V. Realtà e informazione

Mi sembra che questo insieme di considerazioni contribuisce a un quadro in cui la nebbia sull'intrigante ruolo dell'informazione nei fondamenti della fisica comincia un poco a dissiparsi. L'informazione che i sistemi fisici hanno l'uno dell'altro, nel senso di Shannon è ubiquitario nell'universo. Ciò ha come conseguenza il fatto che al di sopra del microstato di un sistema abbiamo anche lo stato informazionale che un secondo sistema O ha su un sistema S.
L'universo non è soltanto la posizione di tutti i suoi atomi democritei. Esso è anche la rete di informazioni che tutti i sistemi hanno ciascuno dell'altro. Gli oggetti non sono soltanto aggregati di atomi. Essi sono configurazioni di atomi individuati attraverso il modo in cui un dato altro sistema interagisce con questi. Un oggetto è tale solo rispetto ad un osservatore che interagisce con esso.
Tra tutti i sistemi, quelli viventi sono quelli che la selezione ha condotto a persistere e a riprodursi, in particolare facendo uso dell'informazione che possiedono sul mondo esterno. Questo è il motivo per cui noi possiamo comprenderli in termini di finalità ed intenzionalità. Essi sono ciò che è persistito grazie alla finalità nella loro struttura. Quindi, non è la finalità che guida la struttura, ma le strutture selezionate definiscono la finalità. Finché l'interazione con il mondo è descritta dall'informazione, è in relazione all'informazione che effettivamente tali sistemi persistono. Questo è il motivo per cui abbiamo il codice genetico del DNA, il sistema immunitario, gli organi di senso, il sistema nervoso, la memoria, un complesso cervello, il linguaggio, i libri, i MAC e gli ArXives. Per massimizzare la gestione delle informazioni.
La statua che Aristotele vorrebbe composta da più che atomi, è fatta da più che atomi: è qualcosa che ha pertinenza con l'interazione tra la pietra e il cervello di Aristotele, o il nostro. E' qualcosa che ha a che fare con la roccia, la dea rappresentata, Fidia, la donna che ha incontrato, la nostra educazione, ed altro. Gli atomi di questa statua parlano con noi esattamente nello stesso modo in cui una pallina bianca nella mia mano “dice” che la pallina nella tua mano è anche essa bianca, se le due sono correlate. Veicolando informazione.
Questo è il motivo, credo, per cui dalla base della genetica alle fondamenta della meccanica quantistica e della termodinamica, fino alla sociologia e alla gravità quantistica, la nozione di informazione ha un ruolo pervasivo ed unificante. Il mondo non è soltanto un cieco vento di atomi, o di campi quantistici covarianti generali. E' anche il gioco infinito di specchi che si riflettono l'uno nell'altro, che diede forma alle correlazioni tra le strutture fatte di oggetti elementari. Per tornare alla metafora di Democrito: gli atomi sono come un alfabeto, ma un immenso alfabeto, così ricco da essere capace di leggere se stesso e di pensare se stesso. Nelle parole di Democrito:
“L'universo è cambiamento, la vita è opinione che adatta se stessa”.

[1] C. E. Shannon, The Bell System Technical Journal, XXVII, 379 (1948).
[2] C. Rovelli, Int. J. Theor. Phys., 35, 1637 (1996), arXiv:9609002 [quant-ph].
[3] M. P. Bronstein, Zh. Eksp. Tear. Fiz., 6, 195 (1936).
[4] M. P. Bronstein, Phys. Z. Sowjetunion, 9, 140 (1936).
[5] C. Rovelli and L. Smolin, Nucl. Phys., B442, 593 (1995), arXiv:9411005 [gr-qc].
[6] A. Ashtekar and J. Lewandowski, Class. Quant. Grav., 14, A55 (1997), arXiv:9602046 [gr-qc].

da Stephen Hawking, Dal Big Bang ai buchi neri

Le leggi della scienza non distinguono fra passato e futuro. Più precisamente, le leggi della scienza sono invariate sotto la combinazione di operazioni (o simmetrie) note come C, P e T. (C significa lo scambio fra particelle e antiparticelle; P significa l'assunzione dell'immagine speculare, con inversione di destra e sinistra; T significa, infine, l'inversione del moto di tutte le particelle, ossia l'esecuzione del moto all'indietro.) Le leggi della scienza che governano il comportamento della materia in tutte le situazioni normali rimangono immutate sotto la combinazione delle due operazioni C e P prese a sé. In altri termini, la vita sarebbe esattamente identica alla nostra per gli abitanti di un altro pianeta che fossero una nostra immagine speculare e che fossero composti di antimateria anziché di materia.
Se le leggi della scienza rimangono immutate sotto la combinazione delle operazioni C e P, e anche sotto la combinazione C, P e T, devono rimanere immutate anche sotto la sola operazione T. Eppure c'è una grande differenza fra le operazioni in avanti e all'indietro del tempo reale nella vita comune. Immaginiamo una tazza d'acqua che cada da un tavolo e vada a frantumarsi sul pavimento. Se filmiamo questo fatto, potremo dire facilmente, osservandone la proiezione, se la scena che vediamo si stia svolgendo in avanti o all'indietro. Se la scena è proiettata all'indietro, vedremo i cocci riunirsi rapidamente e ricomporsi in una tazza intera che balza sul tavolo. Possiamo dire che la scena che vediamo è proiettata all'indietro perché questo tipo di comportamento non viene mai osservato nella vita comune. Se lo fosse, i produttori di stoviglie andrebbero in fallimento.
La spiegazione che si dà di solito del perché non vediamo mai i cocci di una tazza riunirsi assieme a ricostituire l'oggetto integro è che questo fatto è proibito dal secondo principio della termodinamica. Questo dice che in ogni sistema chiuso il disordine, o l'entropia, aumenta sempre col tempo. In altri termini, questa è una forma della legge di Murphy: le cose tendono sempre ad andare storte! Una tazza integra sul tavolo è in uno stato di alto ordine, mentre una tazza rotta sul pavimento è in uno stato di disordine. Si può passare facilmente dalla tazza sul tavolo nel passato alla tazza rotta sul pavimento nel futuro, ma non viceversa.
L'aumento col tempo del disordine o dell'entropia è un esempio della cosiddetta freccia del tempo, qualcosa che distingue il passato dal futuro, dando al tempo una direzione ben precisa. Esistono almeno tre frecce del tempo diverse:

Innanzitutto c'è la freccia del tempo termodinamica: la direzione del tempo in cui aumenta il disordine o l'entropia.

Poi c'è la freccia del tempo psicologica: la direzione in cui noi sentiamo che passa il tempo, la direzione in cui ricordiamo il passato ma non il futuro.

Infine c'è la freccia del tempo cosmologica: la direzione del tempo in cui l'universo si sta espandendo anziché contraendo.

Orbene, nessuna condizione al contorno per l'universo può spiegare perché tutt'e tre le frecce puntino nella stessa direzione, e inoltre perché debba esistere in generale una freccia del tempo ben definita. La freccia psicologica è determinata dalla freccia termodinamica, e queste due frecce puntano sempre necessariamente nella stessa direzione. Se si suppone la condizione dell'inesistenza di confini per l'universo, devono esistere una freccia del tempo termodinamica e una cosmologica ben definite, ma esse non punteranno nella stessa direzione per l'intera storia dell'universo. Solo però quando esse puntano nella stessa direzione le condizioni sono idonee allo sviluppo di esseri intelligenti in grado di porsi la domanda: Perché il disordine aumenta nella stessa direzione del tempo in cui l'universo si espande?.
Esaminerò dapprima la freccia del tempo termodinamica. La seconda legge della termodinamica risulta dal fatto che gli stati disordinati sono sempre molti di più di quelli ordinati. Per esempio, consideriamo i pezzi di un puzzle in una scatola. Esiste uno, e un solo, ordinamento in cui tutti i pezzi formano una figura completa. Di contro esiste un numero grandissimo di disposizioni in cui i pezzi sono disordinati e non compongono un'immagine.
Supponiamo che un sistema prenda l'avvio in uno del piccolo numero di stati ordinati. Al passare del tempo il sistema si evolverà secondo le leggi della scienza e il suo stato si modificherà. In seguito è più probabile che il sistema si trovi in uno stato disordinato piuttosto che in uno ordinato, dato che gli stati disordinati sono in numero molto maggiore. Il disordine aumenterà quindi probabilmente col tempo se il sistema obbedisce alla condizione iniziale di grande ordine.
Supponiamo che nello stato iniziale i pezzi siano raccolti nella scatola nella disposizione ordinata in cui formano un'immagine. Se scuotiamo la scatola i pezzi assumeranno un'altra disposizione. Questa sarà probabilmente una disposizione disordinata in cui i pezzi non formeranno un'immagine appropriata, semplicemente perché le disposizioni disordinate sono in numero molto maggiore di quelle ordinate. Alcuni gruppi di pezzi potranno formare ancora parti della figura, ma quanto più scuotiamo la scatola tanto più aumenta la probabilità che anche questi gruppi si rompano e che i pezzi vengano a trovarsi in uno stato completamente mischiato, nel quale non formeranno più alcuna sorta di immagine. Così il disordine dei pezzi aumenterà probabilmente col tempo se i pezzi obbediscono alla condizione iniziale che si prenda l'avvio da uno stato altamente ordinato.
Supponiamo, però, che Dio abbia deciso che l'universo debba finire in uno stato di alto ordine, ma che non abbia alcuna importanza in quale stato sia iniziato. In principio l'universo sarebbe probabilmente in uno stato molto disordinato. Ciò significherebbe che il disordine è destinato a diminuire col tempo. Vedremmo allora i cocci di tazze rotte riunirsi assieme e le tazze intere saltare dal pavimento sul tavolo. Gli esseri umani che si trovassero a osservare queste scene vivrebbero però in un universo in cui il disordine diminuisce col tempo. Ebbene, tali esseri avrebbero una freccia del tempo psicologica orientata all'indietro. In altri termini, essi ricorderebbero gli eventi del futuro e non del passato. Quando la tazza è rotta, essi ricorderebbero di averla vista integra sul tavolo, ma vedendola sul tavolo non ricorderebbero di averla vista in pezzi sul pavimento.
È piuttosto difficile parlare della memoria umana perché non sappiamo nei particolari in che modo funzioni il cervello. Però sappiamo tutto su come funzionano le memorie dei computer. Esaminerò perciò la freccia del tempo psicologica per i computer. Io penso che sia ragionevole supporre che la freccia del tempo psicologica per i computer sia la stessa che per gli esseri umani. Se così non fosse, si potrebbe fare una strage sul mercato azionario avendo un computer che ricordasse le quotazioni di domani!
Una memoria di un computer è fondamentalmente un dispositivo contenente elementi che possono esistere in uno di due stati diversi. Un esempio semplice è un abaco. Nella sua forma più semplice, esso consiste in un certo numero di bacchette su ciascuna delle quali può scorrere una pallina forata, che può essere messa in una di due posizioni. Prima che un'informazione venga registrata in una memoria di computer, la memoria si trova in uno stato disordinato, con probabilità uguali per ciascuno dei due stati possibili. (Le palline dell'abaco sono distribuite in modo casuale sulle bacchette.) Dopo avere interagito col sistema che dev'essere ricordato, la memoria si troverà decisamente nell'uno o nell'altro stato, a seconda dello stato del sistema. (Ogni pallina dell'abaco si troverà o nella parte destra o nella parte sinistra di ogni bacchetta.) La memoria sarà quindi passata da uno stato disordinato a uno stato ordinato. Per essere certi, però, che la memoria si trovi nello stato giusto, è necessario usare una certa quantità di energia (per spostare le palline o per fornire energia al computer, per esempio). Quest'energia viene dissipata sotto forma di calore, e contribuisce ad aumentare la quantità di disordine nell'universo. Si può mostrare che quest'aumento del disordine è sempre maggiore dell'aumento dell'ordine nella memoria stessa. Così, il calore espulso dal ventilatore del computer significa che, quando un computer registra un'informazione nella sua memoria, la quantità totale di disordine nell'universo aumenta ancora. La direzione del tempo in cui un computer ricorda il passato è la stessa in cui aumenta il disordine.
Il nostro senso soggettivo della direzione del tempo, la freccia del tempo psicologica, è perciò determinato nel nostro cervello dalla freccia del tempo termodinamica. Esattamente come un computer, anche noi dobbiamo ricordare le cose nell'ordine in cui aumenta l'entropia. Questo fatto rende la seconda legge della termodinamica quasi banale. Il disordine aumenta col tempo perché noi misuriamo il tempo nella direzione in cui il disordine aumenta. Non c'è una cosa di cui possiamo essere più sicuri di questa!
Ma per quale ragione deve esistere la freccia del tempo termodinamica? O, in altri termini, perché l'universo dovrebbe essere in uno stato di grande ordine a un estremo del tempo, l'estremo che chiamiamo passato? Perché non si trova sempre in uno stato di completo disordine? Dopo tutto, questa cosa potrebbe sembrare più probabile. E perché la direzione del tempo in cui aumenta il disordine è la stessa in cui l'universo si espande?